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결정공리 (Axiom of Determinacy, AD)란 두 명이 번갈아가면서 자연수를 뽑는 게임을 생각했을 때, 게임의 승리 규칙을 어떻게 결정하던 승리 전략이 존재한다는 내용의 공리이다.

결정공리는 가산 선택공리을 이끌어내며, 결정공리와 종속 선택공리는 무모순하다. 하지만 결정공리는 모든 실수 공간의 부분집합이 가측임을 이끌어내며 완전 부분집합을 갖지 않는 임의의 실수 공간의 부분집합이 가산임을 이끌어낸다. 따라서 결정공리는 선택공리와는 상충된다.

목차

1. 결정공리의 귀결
2. 참고문헌

1. 결정공리의 귀결

결정공리를 이용하면 다음 명제들을 증명할 수 있다:
  • 모든 실수의 부분집합은 가측이며, 베르 성질과 완전집합 성질을 갖는다.
  • 실수 집합은 정렬 가능하지 않다. 특히, \\omega_1\\mathfrak{c}는 비교 불가능하다.
  • 모든 초필터는 \\omega_1-완비이다.
  • 따라서 \\omega 위의 초필터는 존재하지 않는다.
  • \\omega_1 위의 클럽 필터는 초필터이다.
  • 따라서 \\omega_1가측 기수이다.
  • 마찬가지로, \\omega_2 위의 클럽 필터는 \\omega_2-완비 초필터이다. 그리고 \\omega_2 또한 가측이다.
  • 반면, 3\\le n<\\omega일 때 \\omega_n은 가측이 아니다. 심지어 이들은 공종도 \\omega_2를 갖는 특이서수이다.

2. 참고문헌

  • Andres Caicedo (http://mathoverflow.net/users/6085/andres-caicedo), Counterintuitive consequences of the Axiom of Determinacy?, URL (version: 2013-05-01): http://mathoverflow.net/q/129040

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