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가산집합(Countable set)이란 가산집합은 집합의 원소를 하나하나 셀 수 있는 집합을 가리키는 말이다.

목차

1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 영상

1. 개요

\\Bbb{N}의 원소들은 1,2,3,4,\\cdots의 순서로 원소를 세어나갈 수 있다. 유한집합, 예를 들어 대한민국 국민들의 집합도 한 명씩 세어나갈 수 있다. 태어난 순서 혹은 주민등록번호 순으로 세어나갈 수 있을 것이다.

이 글을 읽는 사람들 중 일부는 '\\Bbb{Q}\\Bbb{N}과 크기가 같다'라는 말을 들어보았을 것이다. 책은 일반적으로 유리수들을 잘 배열한 후, 이들을 하나씩 세어나가면서 두 집합의 크기가 같다는 것을 설명한다. 또한 '어떤 방법으로든 집합의 원소를 하나씩 세어나갈 수 있으면 그 집합은 자연수 집합과 크기가 같다'라는 말도 들어보았을 것이다. 그런 집합을 가산집합이라고 생각하면 된다.

2. 정의

두 가지 의미 중 하나로 쓰인다.

1. A가 가산집합이란 것은 A에서 \\Bbb{N}으로의 단사함수가 존재하는 것을 말한다.
2. A가 가산집합이란 것은 A에서 \\Bbb{N}으로의 전단사함수가 존재하는 것을 말한다.

1의 의미로 가산집합이란 단어가 쓰인 경우, 2에 해당하는 집합을 가산 무한집합(Countably infinite set) 혹은 가부번집합(Denumerable set)이라 부른다. 2의 의미로 가산집합이란 단어가 쓰인 경우, 1에 해당하는 집합을 기껏 가산집합(at most countable set)이라 부른다.

3. 예시

  • 자연수들의 집합 \\Bbb{N}은 가산집합이다.
  • 유리수들의 집합 \\Bbb{Q}는 가산집합이다.
  • 대수적 수들의 집합은 가산집합이다.
  • 가산 집합에서 농도가 유한인 부분 집합들의 집합도 가산 집합이다.
  • (가산 선택공리를 가정했을 때) 가산 개의 가산 집합들의 합집합도 가산 집합이다.

4. 영상



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